সাপ্তাহিক সমস্যা-১৭: সংখ্যাভাবুক সৌভিক প্রতিদিনের মত আজকে সকালেও সংখ্যা নিয়ে চিন্তা করছিলো। সে সকাল থেকে সংখ্যাতত্ত্বের একটি বই পড়ছে। বই পড়ার এক পর্যায়ে সে দেখলো, Cryptarithmetic নামে গণিতে একটি শাখা আছে। যেমন- সংখ্যাকে তো আমরা বিভিন্ন ভাষায় লিখে থাকি; 10 কে আমরা বাংলায় দশ বা ইংরেজিতে TEN হিসেবে লিখি। মজার ব্যাপার হলো, গণিতের Cryptarithmetic শাখায় সংখ্যাকে অন্য ভাষার বিভিন্ন অক্ষর দিয়ে প্রকাশ করা হয়। Cryptarithmetic এ সংখ্যাকে বিভিন্ন বর্ণ দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং প্রতিটি বর্ণ আলাদা আলাদা অঙ্ককে নির্দেশ করে থাকে। সৌভিক সাথে সাথেই Cryptarithmetic নিয়ে গাণিতিক সমস্যা চিন্তা করতে লাগলো। কিছুক্ষণ পর সে একটি সমস্যা খুঁজে পেল যা উপরের ছবিতে দ্রষ্টব্য। তোমরা কি সৌভিকের দেয়া সমস্যাটি সমাধান করতে পারবে?
Problem Weekly-17: Number-lover Souvik has been thinking about numbers since this morning as usual. He is reading an interesting book on Number-theory. At one stage of reading the book, he finds that there is a branch of mathematics called Cryptarithmetic. Well, we can write numbers in different languages, just for numeric 10, we write ‘দশ’ in Bangla or ‘TEN’ in English. Interestingly, in the cryptarithmetic branch, numbers are written using letters in other languages, and each letter represents a different digit. Souvik immediately starts thinking about a cryptarithmetic problem. After a while, he found a problem that is given in the above picture. Well, can you solve the problem given by Souvik?
সমাধান: আমাদের সমস্যাটি হলো এরকম-
FORTY
TEN
+ TEN
————-
SIXTY
আমরা যদি একক স্থানীয় অঙ্কের দিকে লক্ষ করি,
Y+ N+ N = Y
এখান থেকে আমরা বলতে পারি, N এর মান শুন্য কিংবা পাঁচ হতে পারে। এখন যদি N এর মান 5 হয় তাহলে,
দশক স্থানীয় অঙ্কের ক্ষেত্রে আমরা পাই, T+E+E+1 (একক স্থানীয় অংকের জন্য হাতে রাখা 1) = T যা অসম্ভব!
তাহলে আমরা নিশ্চিত হয়ে বলতে পারি,
N= 0
যেহেতু প্রতিটি বর্ণ আলাদা আলাদা অঙ্ককে নির্দেশ করে, তাই নিশ্চিত করে বলতে পারি E এর মান হবে 5।
S এবং F যেহেতু ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ককে নির্দেশ করবে (কেন বলো তো!), একইভাবে O এবং I যেহেতু ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ককে নির্দেশ করবে, তাহলে লিখা যায়-
S = F+1 ………….(i)
I = O+1 অথবা I = O+2 (আচ্ছা, I = O+3 কেন হবে না?) ………….(2)
এবং শতক এর অঙ্ক হিসেবে লিখা যায়,
R+T+T+1 = X+10P (p=1 অথবা p=2 হতে পারে) ……….(3)
আচ্ছা, সমীকরণ দেখে কিছু বুঝতে পারছো কী? যেমন দেখো, তিনটি এক অঙ্কের সংখ্যার যোগফল কখনো 27 এর বেশী হতে পারে না! এজন্য আমরা সমীকরণ (3) এর ক্ষেত্রে বলেছি যে, P এর মান 3 হতে পারবে না।
যদি P = 1 হয়, তাহলে আমরা শতক স্থানীয় অঙ্কগুলো যোগ করে পাই,
R+T+T+1 = X+10
এর মানে এখান থেকে আমরা 1 হাতে রাখতে পারবো বা carry হিসেবে 1 থাকবে। অর্থাৎ,
I = O+1, বা, O = 9 এবং I = 0 হয়
কিন্তু এটা সম্ভব না! কারণ N = 0 আমরা আগেই দেখেছি। তাহলে আমরা বুঝতে পারছি যে, P = 2 হবে। তাহলে বলা যায়-
R+ T+ T+ 1 = X+20 হবে
বা, R+T+T = X+19 হবে
এবং, I = O+2 হবে যেখানে O = 9 এবং I = 1 হয়।
এখন, যেহেতু R+T+T = X+19 তাহলে আমরা ধরে নিই-
T = 8R = 6X = 3
তাহলে আমরা লিখতে পারি,
F968Y
850
+ 850
———-
S138Y
যেহেতু F এবং S ক্রমিক বা পাশাপাশি সংখ্যা হবে, সেহেতু T=8, R=6, X=3 হতে পারবে না।
আমরা তাহলে অন্যকিছু ধরে আগাতে পারি। ধরি, T= 8R= 7X = 4 । তাহলে আমাদের সংখ্যা পাজল এরকম হবে-
F978Y
850
+ 850
———
S148Y
তাহলে, F=2 এবং S=3 পাওয়া যায়। সেক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি, Y=6 হবে। তাহলে সমাধানটি হবে এরকম-
29786
850
+ 850
———-
31486
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ৩ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১৭ এ আমাদের মোট বিজয়ী ৩ জন!
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)