সাপ্তাহিক সমস্যা-১০: আমাদের পরিচিত জ্যামিতিক জামি তার বোর্ডে ইচ্ছেমতো কয়েকটি সংখ্যা লিখলো। সংখ্যাগুলো হলো- 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16। এর মাঝে সংখ্যাভাবুক সৌভিক জামির বাসায় এসে হাজির। কিছুক্ষণ পর জামি আর সৌভিক মিলে একটা মজার খেলা শুরু করলো। খেলার নিয়ম খুবই সহজ, প্রত্যেকে বোর্ড থেকে একটা করে সংখ্যা মুছে ফেলবে। প্রথমে সৌভিক একটি সংখ্যা মুছে ফেললো, তখন জামিও একটি সংখ্যা মুছে ফেললো। আবার সৌভিক, আবার জামি, এভাবে খেলা চলতে লাগলো। খেলার এক পর্যায়ে প্রত্যেকে 4টি করে সংখ্যা মুছে ফেললো, তখন দেখা গেলো যে, সৌভিক যে সংখ্যাগুলো মুছে ফেলেছে, সেগুলোর যোগফল জামির মুছে ফেলা সংখ্যার যোগফলের 3 গুন!
সবার শেষে একটি সংখ্যা বোর্ডে রয়ে গেলো। তুমি কি বলতে পারবে সংখ্যাটি কত?
Problem Weekly-10: Our known guy, Geocentric Jami, arbitrarily wrote a few numbers on his board. The numbers are- 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, and 16. In the meantime, the number-lover Souvik appeared at Jami’s house. Then Jami and Souvik started to play an exciting game together. The rule of the game is pretty simple: every person will delete a number from the board! The game started with Souvik; he deleted a number first, then Jami deleted a number. In this way, each deleted 4 numbers at one moment in the game. It turned out that the sum of the numbers that Souvik deleted, was 3 times the sum of the numbers Jami deleted!
One number will remain on the board at the end of the game. Well, can you tell us which number it was?
সমাধান: জামির বোর্ডে লেখা সংখ্যাগুলো হলো- 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, and 16
এই 9 টি সংখ্যার যোগফল হলো- 70
যেহেতু জামি এবং সৌভিক পর্যায়ক্রমে একটি করে সংখ্যা মুছে ফেলেছে, তার মানে তারা প্রত্যেকেই চারটি করে সংখ্যা মুছতে পারবে এবং সবশেষে বোর্ডে একটি সংখ্যা অবশিষ্ট থাকবে।
ধরা যাক, জামির মুছে ফেলা সংখ্যাগুলোর (4 টি সংখ্যা) যোগফল: x
তাহলে, সৌভিকের মুছে ফেলা সংখ্যাগুলোর (4 টি সংখ্যা) যোগফল হবে: 3x
সুতরাং, সবগুলো মুছে ফেলা (8টি সংখ্যা) সংখ্যার যোগফল = 4x
এখান থেকে আমরা বলতে পারি,
জামির মুছে ফেলা সংখ্যার যোগফল + সৌভিকের মুছে ফেলা সংখ্যার যোগফল + অবশিষ্ট সংখ্যা = 70
বা, x + 3x + অবশিষ্ট সংখ্যা = 70
বা, 4x = 70 – অবশিষ্ট সংখ্যা
এই সমীকরণের বাম পাশে রয়েছে 4x যা অবশ্যই 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে। তাহলে, ডান পাশে যা থাকবে সেটিও অবশ্যই 4 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখন, ডানপাশে রয়েছে (70 – অবশিষ্ট সংখ্যা)। এখান থেকে আমরা বলতে পারি, 70 কে 4 দ্বারা ভাগ করলে আমরা যে ভাগশেষ পাবো, বোর্ডের অবশিষ্ট সংখ্যাটিকেও 4 দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ পাবো!
70 কে 4 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 2।
অতএব, বোর্ডের অবশিষ্ট সংখ্যাটিকেও 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকতে হবে 2 (এটা আমরা কিভাবে নিশ্চিত হলাম বলতে পারবে?)
এখন, প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মাঝে একটি সংখ্যাই আছে যাকে 4 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে 2 এবং সেটি হলো 6।
তার মানে বোর্ডে অবশিষ্ট সংখ্যাটি হলো 6।
সুতরাং, 4x = 70 – 6
বা, 4x = 64
বা, x=16
তাহলে বলা যায়,
জামির মুছে ফেলা সংখ্যা- 1, 3, 4, 8
সৌভিকের মুছে ফেলা সংখ্যা- 9, 11, 12, 16
এবং বোর্ডে থেকে যাওয়া সংখ্যা- 6
এটাই আমাদের এ সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর। অনেকেই আমাদের কাছে এই সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছেন, আপনাদের স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। মোট ৫ জনের সঠিক উত্তর পেয়েছি আমরা, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-১০ এ আমাদের মোট বিজয়ী ৫ জন!
যারা উত্তর পাঠিয়েছেন, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি আপনাদের সমস্যা সমাধানের এই যাত্রা অব্যাহত থাকবে। সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)
