সাপ্তাহিক সমস্যা-২১: সংখ্যাভাবুক সৌভিক ইদানিং বীজগণিত নিয়ে পড়াশোনা করছে। বীজগণিতের সমীকরণ জিনিসটি বেশ মজার। সব সমীকরণ সমাধানের জন্য বিভিন্নভাবে চিন্তা করতে হয়। গতকালকে সৌভিকের বন্ধু তাকে বীজগণিতের একটি সমস্যা সমাধান করতে দিয়েছে। সমস্যাটি এরকম-
a, b, c তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেখানে a + b + c = 97 এবং [(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82], abc এর সর্বোচ্চ মান কত হবে?
মজার বিষয় হলো, এখানে সমীকরণে অজানা রাশি আছে তিনটি কিন্তু সমীকরণ দেয়া আছে দুইটি! সৌভিক অনেকক্ষণ চিন্তা করে একটা সমাধান বের করেছে, সেটা এরকম-
a = 5, b = 36, c = 56 এবং abc = 10080
আচ্ছা সৌভিকের উত্তর কি সঠিক? আর কোন উত্তর হওয়া সম্ভব এখানে? সম্ভব হলে তুমি কি সেটা বের করতে পারবে?
Problem Weekly-21: Number-lover Souvik is studying Algebra nowadays. Algebraic equations are quite interesting. Solving all equations requires different ways of thinking. Yesterday Sauvik’s friend asked him to solve an interesting problem. The problem is described here-
a, b, c are three positive integers such that a + b + c = 97 and [(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82]. Find the maximum value of abc.
The interesting thing is that there are three unknowns in the equation but the given equation is only two. Sauvik thought for a long time and came up with a possible solution like below-
a = 5, b = 36, c = 56 and abc = 10080
Well, is Souvik’s answer correct? Is there any other possible solution? If possible, can you figure out the solution(s)?
সমাধান: সমীকরণ দুইটি যথাক্রমে,
a + b + c = 97 ……….(i)
[(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82] ……..(ii)
যেহেতু a, b, c তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, আমরা বলতে পারি-
a সংখ্যাটি 5 দ্বারা বিভাজ্য, b সংখ্যাটি 6 দ্বারা এবং c সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য! (ভেবে দেখ তো কেন এটা হবে?)
সমীকরণ (ii) থেকে আমরা বলতে পারি, 5, 6 এবং 7 এর লসাগু (LCM) হচ্ছে 210। তাহলে সমীকরণটিকে লিখা যায়-
(4a/5) + (5b/6) + (6c/7) = 82
বা, 168a + 175b + 180c = 17220
উপরে আমরা a, b এবং c এর বিভাজ্যতা নিয়ে আলোচনা করেছি। আমরা ধরে নিতে পারি-
a = 5d, b = 6e এবং c = 7f
এই মানগুলো আমরা সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই-
5d + 6e + 7f = 97 ……….(iii)
আবার, সমীকরণ (ii) এ আগের মানগুলো বসিয়ে পাই-
{(4×5d)/5} + {(5×6e)/6} + {(6×7f)/7} = 82
বা, 4d + 5e + 6f = 82 ……..(iv)
সমীকরণ (iii) থেকে সমীকরণ (iv) বিয়োগ করে পাই-
(5d + 6e + 7f) – (4d + 5e + 6f) = 97 – 82
বা, d + e + f = 15 ……..(v)
সমীকরণ (v) থেকে আমরা এটা নিশ্চিত যে, d, e এবং f এর ভিন্ন তিনটি মানের যোগফল 15 হবে। এখানে অনেকগুলো মানই সম্ভব, তবে কোনটি সর্বোচ্চ মান হবে সেটার জন্য আরেকটু সহজ উপায় বের করতে হবে বা আরো কম সংখ্যক মান হিসেব করে উত্তর বের করার চেষ্টা করতে হবে। একটা ভালো উপায় হচ্ছে d, e এবং f এর মান হিসেব করার জন্য আরেকটা সমীকরণ বের করা, যাতে করে আমরা আরো নিশ্চিত হয়ে সর্বোচ্চ মানের হিসেব করতে পারি।
এখন সমীকরণ (v) কে 6 দ্বারা গুণ করে তার থেকে সমীকরণ (iv) কে বিয়োগ করে পাই-
(6d + 6e + 6f) – (4d + 5e + 6f) = 90 – 82
বা, 2d + e = 8
এবার d, e এবং f এর সম্ভাব্য মান যা যা হতে পারে, সেগুলো নিচের টেবিলে হিসেব করে দেখা যাক-
|
d |
e |
f |
a=5d |
b=6e |
c=7f |
abc |
|
1 |
6 |
8 |
5 |
36 |
56 |
10080 |
|
2 |
4 |
9 |
10 |
24 |
63 |
15120 |
|
3 |
2 |
10 |
15 |
12 |
70 |
12600 |
দেখা যাচ্ছে মাত্র 3 বার আমরা d, e এবং f এর মান বসিয়েছি এবং abc এর সর্বোচ্চ মান হিসেব করেছি। মূলত, 2d + e = 8 সমীকরণটি আমাদের কাজ সহজ করে দিয়েছে, d এর দ্বিগুণ এবং e এর মানের যোগফল 8 এর বেশি হয় এরকম কোন মান আমাদের হিসেব করা লাগেনি। আচ্ছা, আর কোন মান ধরলে কি এরচেয়ে বেশি গুণফল পাওয়া যেত? চিন্তা করে দেখো তো…
তাহলে, abc = 15120 মানটি আমাদের এই সপ্তাহের গাণিতিক সমস্যার উত্তর।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে আমরা এবার কোন সঠিক উত্তর পাইনি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২১ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা যাচ্ছে না!
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)
