সাপ্তাহিক সমস্যা-২৯: সংখ্যাভাবুক সৌভিক তার মামার সাথে শিশুপার্কে বেড়াতে গেছে, সাথে তার মামাতো ভাইবোনেরাও আছে। শিশুপার্কে ৫ বছরের কম বয়সী শিশুদের জন্য কোন টিকেট লাগে না এবং ১৮ বছররের কম বয়সী শিক্ষার্থীদের জন্য অর্ধেক দামে টিকেট বিক্রি করা হয়, বাকিদের জন্য পুরো দামে টিকেট বিক্রি হয়। সৌভিকের মামা টিকেট কাউন্টারে গিয়ে প্রথমে নিজের টিকেট কিনলেন, এরপর বাকিদের টিকেট নিতে তিনি অন্য একটি কাউন্টারে গেলেন। কাউন্টারের লোকটি উনাকে বাকি সবার বয়স জিজ্ঞেস করলো, পেছন থেকে সৌভিক উত্তর দিলো: আমাদের সবার বয়সের গুণফল ৩৮৪০ (সৌভিকের মামা বাদে), সবথেকে বড় যে, ছোট জনের বয়সের ৪ গুণ সে! কাউন্টারের লোকটি কতক্ষণ চিন্তা করলো, এরপর সৌভিকের মামাকে প্রয়োজনীয় টিকেট দিয়ে দিল, কোন ভুলও হয় নি!
তুমি কী বলতে পারবে, পার্কে সৌভিকরা মোট কতজন ছিলো? কোন প্রকারের টিকেট তারা কয়টি করে কিনেছিলো?
Problem Weekly-29: Number-lover Sauvik is visiting a recreation park with his uncle and cousins. To enter the park, there is no ticket for children under 5 years, half-priced tickets for students under 18 years, and full-priced tickets are sold for Adults. Sauvik’s uncle bought his ticket first from the adult counter. Then he walked to another counter to buy tickets for the rest people. The checker at the counter asked him about their age, and Sauvik replied immediately like this: The product of our age is 3840 (except his uncle), and the age of the older person here is 4 times the age of the younger person! The checker has thought for a while, then provides Sauvik’s uncle with the required tickets without any mistake!
Can you tell us the number of people who were with Sauvik in the park (including himself)? How many tickets of each type his uncle bought for them?
সমাধান: একটু ভালোভাবে চিন্তা করলে বুঝতে পারবে যে, সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোনদের বয়সের গুণফল ৩৮৪০ কে যদি মৌলিক উৎপাদকে (Prime Factorization) বিশ্লেষণ করা যায়, তাহলেই সবার বয়স বের করা সম্ভব! তাহলে, ৩৮৪০ সংখ্যাটিকে আমরা নিচের মতো করে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
৩৮৪০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ২^৮ × ৩ × ৫
প্রশ্নমতে, সৌভিকদের মধ্যে সবচেয়ে বড় ব্যক্তিটি সবচেয়ে ছোট ব্যক্তির বয়সের ৪ গুণ। তাহলে ৩৮৪০ সংখ্যাটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ আমরা আরেকবার খেয়াল করি,
৩৮৪০ = ২^৮ × ৩ × ৫
= ২^৬ × ২^২ × ৩ × ৫
= ২^৪ × ২^২ × ২^২ × ৩ × ৫
এখন খেয়াল করো, শর্তমতে যদি সবচেয়ে ছোট মানুষটির বয়স ১ বছর হয়, তবে সবচাইতে বড় মানুষটির বয়স হওয়ার কথা ৪ বছর। কিন্তু আমরা উৎপাদকগুলো লক্ষ্য করলে দেখতে পাচ্ছি, সর্বোচ্চ মৌলিক উৎপাদক হচ্ছে ৫। সুতরাং সৌভিক এবং তার মামাতো ভাইবোনদের মধ্যে কারো বয়সই এক বছর হওয়া সম্ভব না! যদি কারো বয়স ২ বছর হয়, সর্বোচ্চ বয়সের ব্যক্তি হতে হবে ৮ বছরের। সেক্ষেত্রে আমরা লিখতে পারি,
৩৮৪০ = ২ × ২^২ × ২^২ × ২^৩ × ৩ × ৫
= ২ × ৪ × ৪ × ৮ × ৩ × ৫
(এ গুণফলকে চাইলে এভাবেও লিখা যায়: ২ × ২ × ৪ × ৮ × ৬ × ৫)
এখান থেকে দেখা যাচ্ছে যে, সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোন মিলে পার্কে মোট ৬ জন ছিলো। এদের বয়স যথাক্রমে ২ বছর, ৩ বছর, ৪ বছর, ৪ বছর, ৫ বছর এবং ৮ বছর। এখান থেকে ৪ জনই ফ্রি টিকেটে পার্কে ঢুকতে পারতো, দুইজনের জন্য অর্ধেক দামে টিকেট কেনা লাগতো।
প্রশ্ন হচ্ছে, এটাই কী একমাত্র উত্তর? নাকি ভিন্ন উত্তরও সম্ভব? লিখার বাকি অংশ পড়ার আগে একটু ভেবে দেখো তো!
খেয়াল করো, সবচেয়ে ছোট ব্যক্তির বয়স যদি ৩ বছর হয়, তবে সবচাইতে বড় যে তার বয়স হতে হবে ১২ বছর যা অসম্ভব! কারণ আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণ থেকে দেখতে পাচ্ছি, ৩ সংখ্যাটি উৎপাদক হিসেবে আছে মাত্র ১ বার, ৩ এর চারগুণ বা ১২ পেতে হলে অন্তত আরো একটি ৩ এর প্রয়োজন হবে।
কিন্তু সবচেয়ে ছোট মানুষটির বয়স যদি ৪ বছর হয় তবে সবচেয়ে বড় মানুষটির বয়স হতে হবে ১৬ বছর, যা ৩৮৪০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহকে নতুন করে সাজালে সম্ভব হয়! আমরা হিসেব করে পাই,
৩৮৪০ = ২^৪ × ২^২ × ২^২ × ৩ × ৫
= ৪ × ৪ × ১৫ × ১৬
= ৪ × ৫ × ১২ × ১৬
= ৪ × ৬ × ১০ × ১৬
উপরে আমরা কয়েকটি ভিন্ন উপায়ে উৎপাদকগুলোর গুণফলকে প্রকাশ করেছি। সকল ক্ষেত্রেই সৌভিক ও তার মামাতো ভাইবোনদের সংখ্যা হয় ৪ জন কিন্তু টিকেটের ক্ষেত্রে হিসেব ভিন্ন ভিন্ন হয়। অর্থাৎ কখনো অর্ধেক দামের ২টি টিকেট কিনতে হবে, কখনো ৩টি কিনতে হবে ইত্যাদি। তোমরা চাইলে আরো কোন উত্তর হওয়া সম্ভব কি না সেটা ভেবে দেখতে পারো। পাশাপাশি, সবচেয়ে কম কিংবা সবচেয়ে বেশি কয়টি টিকেট কিনে পার্কে প্রবেশ করা যাবে সেটাও হিসেব করতে পারো।
অনেকেই আমাদের কাছে এই গাণিতিক সমস্যাটির সমাধান পাঠিয়েছে, সবার স্বতঃস্ফূর্ত অংশগ্রহণ আমাদের অভিভূত করেছে। তবে কার সঠিক উত্তর আমরা পাই নি, তাই সাপ্তাহিক সমস্যা-২৯ এ কাউকে বিজয়ী ঘোষণা করা গেল না!
যারা সমস্যাটির সমাধান করার চেষ্টা করেছো, সবাইকে অভিনন্দন। আশা করি তোমাদের সমস্যা সমাধানের এই চেষ্টা অব্যাহত থাকবে। তোমাদের সবার সেকেন্ড ডিফারেন্সিয়াল নেগেটিভ হোক!
(আমাদের অন্যান্য গাণিতিক সমস্যা দেখতে এই লিঙ্কে ক্লিক করুন।)